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Méthode d'Euler,
résolution d'une équation différentielle.
D'après stage éducation nationale mai
2002, avec EXCEL
PRINCIPE DE RESOLUTION APPROCHEE D’UNE EQUATION DIFFERENTIELLE
Exemple y’=ky k nombre réel non nul
NOTION DE BASE UTILISEE
f fonction dérivable en x0, pour h proche de 0, f(x0+ h) est presque égal à:
f(x0) + h f ’(x0)
PRINCIPE
1. On cherche une fonction f telle que f ’=kf ( avec k = 1) et qui prend en x0
connue la valeur y0 donnée.
Dans le premier exemple x0 = 0 et y0 = 1
2. On choisit un pas noté h pour la variable x. le pas sera changé pour voir
l’effet sur la fonction obtenue. On calcule x1 = x0 + h
On calcule f ’(x0 )=k f(x0)
On détermine alors une valeur approchée de f(x1) : f(x0) + h f ’(x0)
3. Puis on recommence On calcule x2 = x1 + h
On calcule f ’(x1)=k f(x1)
On détermine alors une valeur approchée de f(x2) : f(x1) + h f ’(x1)
4.On répète alors ces calculs
EXPLOITATIONS
Déterminer des solutions particulières pour k =1, en donnant à h différentes
valeurs proches de zéro, positives ou négatives. Représenter chaque fois
la courbe obtenue.
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pas |
Xi+1=Xi+pas |
Yi+1=Yi+Y'pas |
Y'=kY
k=1 |
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0,1 |
x |
y |
|
y' |
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données |
xo
= 0 |
yo
= 1 |
|
1 |
|
|
0,1 |
1,1 |
|
1,1 |
|
|
0,2 |
1,21 |
|
1,21 |
|
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0,3 |
1,331 |
|
1,331 |
|
|
0,4 |
1,4641 |
|
1,4641 |
|
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0,5 |
1,61051 |
|
1,61051 |
|
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0,6 |
1,771561 |
|
1,771561 |
|
|
0,7 |
1,9487171 |
|
1,9487171 |
|
|
0,8 |
2,14358881 |
|
2,14358881 |
|
|
0,9 |
2,357947691 |
|
2,35794769 |
|
|
1 |
2,59374246 |
|
2,59374246 |
|
|
1,1 |
2,853116706 |
|
2,85311671 |
|
|
1,2 |
3,138428377 |
|
3,13842838 |
|
|
1,3 |
3,452271214 |
|
3,45227121 |
|
|
1,4 |
3,797498336 |
|
3,79749834 |
|
|
1,5 |
4,177248169 |
|
4,17724817 |
|
|
1,6 |
4,594972986 |
|
4,59497299 |
|
|
1,7 |
5,054470285 |
|
5,05447028 |
|
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1,8 |
5,559917313 |
|
5,55991731 |
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|
1,9 |
6,115909045 |
|
6,11590904 |
|
|
2 |
6,727499949 |
|
6,72749995 |
|
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2,1 |
7,400249944 |
|
7,40024994 |
|
|
2,2 |
8,140274939 |
|
8,14027494 |
|
|
2,3 |
8,954302433 |
|
8,95430243 |
|
|
2,4 |
9,849732676 |
|
9,84973268 |
|
|
2,5 |
10,83470594 |
|
10,8347059 |
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2,6 |
11,91817654 |
|
11,9181765 |
|
|
2,7 |
13,10999419 |
|
13,1099942 |
|
|
2,8 |
14,42099361 |
|
14,4209936 |
|
|
2,9 |
15,86309297 |
|
15,863093 |
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3 |
17,44940227 |
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17,4494023 |
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