ECHANTILLONNAGE. 1S Mathématiques

Introduction.
On suppose que dans une population donnée, un caractère est présent avec la proportion p. Pour vérifier cette hypothèse on prélève avec remise un échantillon de n individus et on calcule la fréquence f du caractère. On désire étudier si f est p sont proche l'un de l'autre.

Échantillon : Un échantillon de taille n est le n-uplet, obtenu en répétant n fois une même expérience aléatoire.

Fluctuation d'échantillonnage : C'est l'écart maximal des fréquences d'un caractère pour un ensemble d'échantillons.

Présentation du problème : Si on extrait un échantillon d'une population importante, on peut assimiler cette extraction à un tirage avec remise. La variable aléatoire X égale au nombre de réussites suit alors une loi binomiale. À l'aide du tableau des valeurs de p(X≤k) avec  k entier variant de 0 à n, on peut déterminer un intervalle dans lequel la fréquence du caractère étudié a t% de risque de ne pas se trouver.

Cas général
Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, l'intervalle de fluctuation de la fréquence f d'un caractère, au seuil de risque de t % avec un échantillon de taille n , est de la forme [ a/n ; b/n ]
L'intervalle de confiance est de 1 - t %.
a est le plus petit entier tel que p(X≤a) > t/2
b est le plus petit entier tel que p(X≤b) ≥ 1-t/2.

Cas de l'intervalle de fluctuation à 95%

Au risque de 5% (t=0,05) c'est à dire que la probabilité de rejeter l'hypothèse alors qu'elle est vraie, est inférieur à 5%, l'intervalle de fluctuation à 95% d'une fréquence sur un échantillon de taille n, d'une variable aléatoire X suivant une loi Binomiale B(n,p)
est l'intervalle [ a/n ; b/n ] avec

a est le plus petit entier tel que p(X≤a) > 0,025

b est le plus petit entier tel que p(X≤b) ≥ 0,975

Règle de décision pour un intervalle de fluctuation à 95% [ a/n ; b/n ] .

• Si f appartient à [ a/n ; b/n ] on accepte cette hypothèse, comme quoi la proportion du caractère dans la population est p.

• Si f n'appartient pas à [ a/n ; b/n ] on rejette cette hypothèse, au risque de 5%.